Question

2．已知函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²+1（x∈R）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[a，2]（0＜a＜2）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（2），f（2），代入切线方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的单调区间，通过讨论a的范围，得到f（x）在[a，2]的单调性，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：f′（x）=3x²-3x，
∴f′（2）=6，又因为f（2）=3，
所以曲线y=f（x）在在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），
即y=6x-9；
（Ⅱ）因为f′（x）=3x²-3x，令f′（x）=0，解得x=0或x=1，
所以f（x）的单增区间为（-∞，0），（1，+∞），
所以f（x）的单减区间为（-∞，0），（1，+∞），
因为a＞0所以分两种情况：
①若0＜a＜1

x	（a，1）	1	[1，2]
f′（x）	-	0	+
f（x）	单减	极小值	单增

所以当0＜a＜1，f（x）的最小值为$\frac{1}{2}$；
②若1≤a＜2，f（x）在[a，2]上单增，f（x）的最小值为f（a）=a³-$\frac{3}{2}$a²+1，
综上所述，当0＜a＜1，f（x）的最小值为$\frac{1}{2}$，
1≤a＜2时，f（x）的最小值为：a³-$\frac{3}{2}$a²+1．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．