Question

6．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是CD、CC₁的中点，则直线A₁M与DN所成角的大小是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出异面直线A₁M与DN所成角的大小．

解答 解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系；
设棱长为2，
则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{DN}$=（0，2，1），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-2，1，-2）；
所以$\overrightarrow{DN}$•$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=0×（-2）+2×1+1×（-2）=0，
所以$\overrightarrow{DN}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}M}$，
即A₁M⊥DN，异面直线A₁M与DN所成的角的大小是$\frac{π}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了空间异面直线所成的角的应用问题，采用了向量的方法，是基础题目．