Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
（1）函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心为________．
（2）若函数g（x）=x³-x²+3x-+，则g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=________．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=x³-3x²+3x，∴f′（x）=3x² -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心为（1，1），
故答案为 （1，1）．
（2）若函数g（x）=x³-x²+3x-+=x³-x²+3x-+，令h（x）=x³-x²+3x-，m（x）=，则g（x）=h（x）+m（x）．
则h′（x）=x²-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=，故h（x）的对称中心为（，1）．
设点p（x₀，y₀）为曲线上任意一点，则点P关于（，1）的对称点P′（1-x₀，2-y₀）也在曲线上，
∴h（1-x₀）=2-y₀ ，∴h（x₀）+h（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．
∴h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）
=[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）]=1005×2=2010．
由于函数m（x）=的对称中心为（，0），可得m（x₀）+m（1-x₀）=0．
∴m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）
=[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+…+[m（）+m（）]=1005×0=0．
∴g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）
+m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）
=2010+0=2010，
故答案为2010．
分析：（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心．
（2）令h（x）=x³-x²+3x-，m（x）=，则g（x）=h（x）+m（x）．利用对称性求得h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）=2010，求得m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=0，从而求得g（x）=h（x）+m（x）的值．
点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．