Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知 平面，且四边形为直角梯形， ， ， ，点， 分别是， 的中点．

（I）求证： 平面；

（Ⅱ）点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)

【解析】试题分析：(Ⅰ) 连接， ，由三角形中位线定理可得// ，从而可证明四边形为平行四边形，可得// ，利用线面平行的判定定理可得结果；(Ⅱ以为坐标原点， 为坐标轴建立空间坐标系，设， ，利用空间向量夹角余弦公式可得，利用换元法，结合二次函数配方法，求得时直线与所成角取得最小值，此时.

试题解析：(Ⅰ) 证明：连接， ，因为点， 分别是， 的中点，所以， // ，

所以// ， ，所以四边形为平行四边形，所以// .又因为平面， 平面，所以//平面．

(Ⅱ) 解：如图，以为坐标原点建立空间坐标系，则， ， ， ， ． 所以， ，设， ，

又，所以.设， 则， ， 所以， ，当且仅当，即时， 取得最大值， 即直线与所成角取得最小值，此时．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、向量法求异面直线所成的角，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.