Question

【题目】平面上动点M到直线x=﹣1的距离比它到点F（2，0）的距离少1．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）已知点B（﹣1，0），设过点（1，0）的直线l与轨迹E交于不同的两点P、Q，证明：x轴是∠PBQ的角平分线所在的直线．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为点M到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，

所以点M到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，

因此点M的轨迹为抛物线，方程为y2=8x

（2）解：将y=k（x﹣1）代入y2=8x中，

得k2x2﹣（2k2+8）x+k2=0，

由根与系数的关系得，x1+x2=2+ ，x1x2=1．

∴ + = =0，

∴ =﹣ ，

∴x轴是∠PBQ的解平分线．

k不存在时，结论同样成立

【解析】（1）把直线x=﹣1向左平移一个单位变为x=﹣2，此时点M到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，即可得到点M的轨迹方程．（2）将y=k（x﹣1）代入y2=8x中，得k2x2﹣（2k2+8）x+k2=0，利用根与系数的关系，证明 + =0，即可证明结论．