Question

【题目】已知数列为等比数列，,公比为，且，为数列的前项和.

（1）若，求；

（2）若调换的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；

（3）是否存在正常数，使得对任意正整数，不等式总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）或；（3）.

【解析】

（1）运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，求和公式计算即可得到所求值；

（2）由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程即可得到所求值；

（3）假设存在正常数c,q，使得对任意的正整数n，不等式总成立，由，即为，等价为，讨论公比q，结合题意，推得存在，求得q的范围.

（1）因为所以，所以或（舍去）．

所以

（2）若或成等差数列，则，解得或1（舍去）；若或成等差数列，

则，解得或1（舍去）；若成等差数列，

则，解得（舍去）.综上，

（3）由，可得，故等价于恒成立.

因为 所以得到当时，不可能成立.

当时，另，得，解得

因为，所以即当时，，所以不可能成立.

当时，由，即，所以

即当时，不成立.当时，，

所以当时恒成立，

综上，存在正常数，使得对任意正整数不等式总成立，的取值范围为