Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2 ，∠PDC=120°，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上．

（1）若AF= ，求证：CD⊥EF；
（2）设平面DEF与平面DPA所成二面角的平面角为θ，试确定点F的位置，使得cosθ= ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△PCD中，PD=CD=2，

∵E为PC的中点，∴DE平分∠PDC，∠PDE=60°，

∴在Rt△PDE中，DE=PDcos60°=1，

过E作EH⊥CD于H，则 ，连结FH，

∵ ，∴四边形AFHD是矩形，

∴CD⊥FH，又CD⊥EH，FH∩EH=H，∴CD⊥平面EFH，

又EF平面EFH，∴CD⊥EF．

（2）解：∵AD=PD=2， ，∴AD⊥PD，又AD⊥DC，

∴AD⊥平面PCD，

又AD平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD．

过D作DG⊥DC交PC于点G，则由平面PCD⊥平面ABCD知，DG⊥平面ABCD，

故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，

建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， ，

又知E为PC的中点，E ，设F（2，t，0），

则 ， ， ， ．

设平面DEF的法向量为 =（x1，y1，z1），

则 ，∴ ，

取z1=﹣2，得平面DEF的一个法向量 ，

设平面ADP的法向量为 =（x2，y2，z2），

则 ，∴ ，

取z2=1，得 ．

∴ ，解得 ，

∴当 时，满足 ．

【解析】（1）过E作EH⊥CD于H，连结FH，推导出四边形AFHD是矩形，由此能证明CD⊥F．（2）过D作DG⊥DC交PC于点G，以D为原点，以DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出当 时，满足 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．