Question

【题目】已知椭圆C： +y2=1与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x2+y2= 相切于点W（O为坐标原点）．
（1）证明：OE⊥OF；
（2）设λ= ，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线l与圆O相切，

∴圆x2+y2= 的圆心到直线l的距离d= = ，

∴ ；

由 ，得：

（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0；

设E（x1，y1），F（x2，y2），

则 ， ；

∴

∴OE⊥OF；

（2）解：∵直线l与圆O相切于W， ，

∴ ；

由（1）知x1x2+y1y2=0，

∴x1x2=﹣y1y2，即 ；

从而 ，

即 ，

∴ ；

∵﹣ ≤x1≤ ，

∴λ∈[ ，2]．

【解析】（1）由直线l与圆O相切，得圆心到直线l的距离d=r，再由直线l与椭圆C相交，得出E、F点的坐标关系，从而证明OE⊥OF；（2）根据直线l与圆O相切于点W，以及OE⊥OF，得出λ= 的坐标表示，求出λ的取值范围．