Question

【题目】抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．

（1）如下图，若P(1，－3)、B(4，0)，① 求该抛物线的解析式；② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；

（2） 如下图，在图中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，OE+OF是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②或；（2）.

【解析】

（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；

②根据平行线的判定，可得，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；

（2）作于Q点，设，可表示出的长，可得答案.

（1）①将P(1，－3)、B(4，0)代入y＝ax2＋c得

，解得 ，抛物线的解析式为： ．

②如图：

由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P(1，－3)得D(-1，-3)；

如图，D在P右侧，即图中D2，则∠D2PO＝∠POB，延长PD2交x轴于Q，则QO＝QP，

设Q（q，0），则（q－1）2＋32＝q2，解得：q＝5，∴Q（5，0），则直线PD2为 ，

再联立 得：x＝1或 ，∴ D2（ ）

∴点D的坐标为(-1，-3)或（ ）

（2）过点P作PH⊥AB，设P（x，）有OH=x，PH=，

易证：△PAH∽△EAO，则 即，∴，

同理得∴，∴，则OE＋OF＝

∴OE+OF是定值，等于。