【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1 , ∠BAA1=60°.
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C= ,求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值.
【答案】
(1)证明:取AB中点O,连CO,OA1,A1B,
∵AB=AA1,∠BAA1=60°,
∴△A1AB为正三角形,
∴A1O⊥AB,
∵CA=CB,∴CO⊥AB,
∵CO∩A1O=O,
∴AB⊥平面COA1,
∵A1C平面COA1,
∴AB⊥A1C.
(2)解:∵AB=CB=2,AB=AA1,CA=CB,∠BAA1=60°,
∴CO=A1O= =
,
∵A1C= ,
∴ =
,
∴OC⊥A1O,
∵OC∩AB=O,∴A1O⊥平面ABC,
建立如图空间直角坐标系O﹣xyz,
O(0,0,0),A(1,0,0), ,C(0,0,
),
设平面AA1C的法向量为 ,
则 ,
,
∴ ,
∴ =(
,1,1),
平面向量ACB的法向量 =(0,1,0),
cos< ,
>=
=
.
∴二面角B﹣AC=A1的余弦值为 .
【解析】(1)取AB中点O,连CO,OA1 , A1B,由题设条件推导出△A1AB为正三角形,从而得到A1O⊥AB,由CA=CB,得到CO⊥AB,由此能够证明AB⊥A1C.(2)以OA为x轴,以OA1为y轴,以OC为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz,利用向量法能求出二面角B﹣AC=A1的余弦值.
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【题目】椭圆E: (a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2 , D为椭圆短轴上的一个顶点,DF1的延长线与椭圆相交于G.△DGF2的周长为8,|DF1|=3|GF1|.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC,试问直线BC是否恒过定点?若是,求出此定点的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线 (t为参数,t∈R),曲线
(θ为参数,θ∈[0,2π]).
(Ⅰ)以O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,求曲线C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若曲线C1与曲线C2相交于点A、B,求|AB|.
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【题目】设定义在R上的偶函数y=f(x),满足对任意t∈R都有f(t)=f(2﹣t),且x∈(0,1]时,f(x)= ,a=f(
),b=f(
),c=f(
),则( )
A.b<c<a
B.a<b<c
C.c<a<b
D.b<a<c
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【题目】已知正三角形ABC的边长为2,D、E、F分别是BC、CA、AB的中点.
(1)在三角形内部随机取一点P,求满足|PB|≥1且|PC|≥1的概率;
(2)在A、B、C、D、E、F这6点中任选3点,记这3点围成图形的面积为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
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【题目】输入x,求函数y=的值的程序框图如图C17所示.
(1)指出程序框图中的错误之处并写出正确的算法步骤.
(2)重新绘制程序框图,并回答下面提出的问题.
①要使输出的值为7,则输入的x的值应为多少?
②要使输出的值为正数,则输入的x应满足什么条件?
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【题目】已知椭圆C: +y2=1与直线l:y=kx+m相交于E、F两不同点,且直线l与圆O:x2+y2=
相切于点W(O为坐标原点).
(1)证明:OE⊥OF;
(2)设λ= ,求实数λ的取值范围.
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