【题目】已知函数,其中
为正实数.
(1)若函数在
处的切线斜率为2,求
的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)若函数有两个极值点
,求证:
.
【答案】(1)1(2) 单调减区间为,
,单调减区间为
.(3)见解析
【解析】试题分析:(1)根据导数几何意义得,解得
的值;(2)先求导数,再根据导函数是否变号分类讨论,最后根据导函数符号确定单调区间(3)先根据韦达定理得
,再化简
,进而化简所证不等式为
,最后利用导函数求函数
单调性,进而确定最小值,证得结论
试题解析:(1)因为,所以
,
则,所以
的值为1.
(2) ,函数
的定义域为
,
若
,即
,则
,此时
的单调减区间为
;
若
,即
,则
的两根为
,
此时的单调减区间为
,
,
单调减区间为.
(3)由(2)知,当时,函数
有两个极值点
,且
.
因为
要证,只需证
.
构造函数,则
,
在
上单调递增,又
,且
在定义域上不间断,
由零点存在定理,可知在
上唯一实根
, 且
.
则在
上递减,
上递增,所以
的最小值为
.
因为,
当时,
,则
,所以
恒成立.
所以,所以
,得证.
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【题目】已知命题p:对任意
,不等式
恒成立;命题q:存在
,使得
成立.
(1)若p为真命题,求m的取值范围;
(2)当,若p且q为假,p或q为真,求m的取值范围.
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【题目】如图所示,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,DD1⊥平面ABCD,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(Ⅰ)证明:CC1∥平面A1BD;
(Ⅱ)求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值
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【题目】共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析,每辆单车的营运累计收入 (单位:元)与营运天数
满足
.
(1)要使营运累计收入高于800元,求营运天数的取值范围;
(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运收入最大?
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【题目】已知椭圆的两个焦点分别是
,
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为
,过点
的直线
与椭圆
相交于异于
的不同两点
,
,求
的面积
的最大值.
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【题目】(题文)从某校高一年级随机抽取名学生,获得了他们日平均睡眠时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表:
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)若,补全表中数据,并绘制频率分布直方图.
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,若上述数据的平均值为,求
,
的值,并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于
小时的概率.
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【题目】某投资公司计划投资两种金融产品,根据市场调查与预测,
产品的利润
与投资金额
的函数关系为
,
产品的利润
与投资金额
的函数关系为
(注:利润与投资金额单位:万元).
(1)该公司现有100万元资金,并计划全部投入两种产品中,其中
万元资金投入
产品,试把
两种产品利润总和
表示为
的函数,并写出定义域;
(2)怎样分配这100万元资金,才能使公司的利润总和获得最大?其最大利润总和为多少万元.
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【题目】已知圆,某抛物线的顶点为原点
,焦点为圆心
,经过点
的直线
交圆
于
,
两点,交此抛物线于
,
两点,其中
,
在第一象限,
,
在第二象限.
(1)求该抛物线的方程;
(2)是否存在直线,使
是
与
的等差中项?若存在,求直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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