Question

【题目】如图所示，正三棱柱的底面边长为2， 是侧棱的中点.

（1）证明:平面平面；

（2）若平面与平面所成锐角的大小为，求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）要证平面平面，转证平面，又，即证平面.（2）建立空间坐标系，由平面与平面所成锐角的大小为，得到，进而得到四棱锥的体积.

试题解析：

解：（1）如图①，取的中点， 的中点，连接，易知

又，∴四边形为平行四边形，∴.

又三棱柱是正三棱柱，

∴为正三角形，∴.

又平面，

,而，

∴平面.

又，

∴平面.

又平面，

所以平面平面

（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，

设，则，得

.

设为平面的一个法向量.

由得

即.

显然平面的一个法向量为，

所以，

即.

所以.

（方法二）如图②，延长与交于点,连接.

∵, 为的中点，∴也是的中点,

又∵是的中点,∴.

∵平面,∴平面.

∴为平面与平面所成二面角的平面角.

所以,∴.