【题目】已知被直线
,
分成面积相等的四个部分,且截
轴所得线段的长为2.
(1)求的方程;
(2)若存在过点的直线与
相交于
,
两点,且点
恰好是线段
的中点,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)被直线
,
分成面积相等的四个部分说明圆心在直线的交点,再根据截得x轴线段长求出半径即可;(2)根据平面几何知识知,“点
是线段
的中点”等价于“圆上存在一点
使得
的长等于
的直径”,转化为
,即
,从而求解.
试题解析:
(1)设的方程为
,
因为被直线
分成面积相等的四部分,
所以圆心一定是两直线
的交点,
易得交点为,所以
.
又截x轴所得线段的长为2,所以
.
所以的方程为
.
(2)法一:如图, 的圆心
,半径
,
过点N作的直径
,连结
.
当与
不重合时,
,
又点是线段
的中点
;
当与
重合时,上述结论仍成立.
因此,“点是线段
的中点”等价于“圆上存在一点
使得
的长等于
的直径”.
由图可知,即
,即
.
显然,所以只需
,即
,解得
.
所以实数的取值范围是
.
法二:如图, 的圆心
,半径
,连结
,
过作
交
于点
,并设
.
由题意得,
所以,
又因为,所以
,
将代入整理可得
,
因为,所以
,,解得
.
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【题目】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个白球;至少有一个红球 B. 至少有一个白球;红、黑球各一个
C. 恰有一个白球;一个白球一个黑球 D. 至少有一个白球;都是白球
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【题目】如图所示,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,DD1⊥平面ABCD,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(Ⅰ)证明:CC1∥平面A1BD;
(Ⅱ)求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值
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【题目】已知点,圆
,点
是圆上一动点,
的垂直平分线与
交于点
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,过点
且斜率不为0的直线
与
交于
两点,点
关于
轴的对称点为
,证明直线
过定点,并求
面积的最大值.
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【题目】共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析,每辆单车的营运累计收入 (单位:元)与营运天数
满足
.
(1)要使营运累计收入高于800元,求营运天数的取值范围;
(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运收入最大?
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【题目】(题文)从某校高一年级随机抽取名学生,获得了他们日平均睡眠时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表:
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)若,补全表中数据,并绘制频率分布直方图.
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,若上述数据的平均值为,求
,
的值,并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于
小时的概率.
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【题目】如图所示,等腰的底边
,高
,点
是线段
上异于点
的动点,点
在
边上,且
,现沿
将△
折起到△
的位置,使
,记
,
表示四棱锥
的体积.
(1)求的表达式;(2)当
为何值时,
取得最大,并求最大值。
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