【题目】已知数列是等差数列,其前
项和为
,
,
,
是等比数列,
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前10项和
.
【答案】(1);(2)
.
【解析】分析:(1)设数列的公差为
,由
,解得
,从而可得
;(2)由
,
得公比
,从而可得
,利用分组求和法,结合等差数列与等比数列的求和公式即可得结果.
详解:(1)设数列{an}的公差为d,
由a1=1,S5=5a1+10d=25,解得d=2,故an=2n-1,
(2)设数列{bn-an}的公比为q,
由b1-a1=2,b4-a4=16,得q3==8,解得q=2,
bn-an=2n ,故bn=2n+2n-1,
所以数列{bn }的前10项和为
T10=b1+b2+…b10=(2+1)+(22+3)+(23+5)+…+(210+19)
=(2+22+…+210)+(1+3+5+…+19)
==2146.
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【题目】已知椭圆、抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为原点
,平面上四个点
,
,
,
中有两个点在椭圆
上,另外两个点在抛物线
上.
(1)求的标准方程;
(2)是否存在直线满足以下条件:①过
的焦点
;②与
交于
两点,且以
为直径的圆经过原点
.若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的两个焦点分别是
,
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为
,过点
的直线
与椭圆
相交于异于
的不同两点
,
,求
的面积
的最大值.
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【题目】(题文)从某校高一年级随机抽取名学生,获得了他们日平均睡眠时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表:
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)若,补全表中数据,并绘制频率分布直方图.
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,若上述数据的平均值为,求
,
的值,并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于
小时的概率.
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【题目】在游学活动中,在处参观的第
组同学通知在
处参观的第
组同学:第
组正离开
处向
的东南方向游玩,速度约为
米/分钟.已知
在
的南偏西
方向且相距
米,第
组同学立即出发沿直线行进并用
分钟与第
组同学汇合.
()设第
组同学行进的方位角为
,求
.
(方位角:从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)
()求第
组同学的行进速度为多少?
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【题目】某投资公司计划投资两种金融产品,根据市场调查与预测,
产品的利润
与投资金额
的函数关系为
,
产品的利润
与投资金额
的函数关系为
(注:利润与投资金额单位:万元).
(1)该公司现有100万元资金,并计划全部投入两种产品中,其中
万元资金投入
产品,试把
两种产品利润总和
表示为
的函数,并写出定义域;
(2)怎样分配这100万元资金,才能使公司的利润总和获得最大?其最大利润总和为多少万元.
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【题目】近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入(单位:万元)满足
,乙城市收益Q与投入
(单位:万元)满足
,设甲城市的投入为
(单位:万元),两个城市的总收益为
(单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
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