Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，离心率为．过定点的直线交椭圆于不同的两点， （点在点， 之间）．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若射线交椭圆于点（为原点），求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意， ， 又因，得．

由，解得．即得出椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线斜率不存在时，其方程为，由，得，当直线斜率存在时，设其为，则直线方程为．由，可得则（1）由 得，判别式，解得，把韦达定理的式子带入（1）得出，由即可得出实数的取值范围；

（Ⅲ）由椭圆的对称性可知， ， ，设点到直线的距离为，由（Ⅱ）可知，且 =，利用基本不等式可求得的最大值即可得出面积的最大值.

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意， ， 又因，得．

由，解得．故椭圆的方程为．

（Ⅱ）当直线斜率不存在时，其方程为，此时， ， ， ， ，由，得．

当直线斜率存在时，设其为，则直线方程为．

设， ，则， ．

由，可得则 ． （1）

由 得，即．

判别式，解得．

且， ， 将其代入（1）得，

，由 ，

， 解得．又因在， 之间，所以．

综上可得， 的取值范围是．

（Ⅲ）由椭圆的对称性可知， ， ．

设点到直线的距离为，由（Ⅱ）可知，

且

===

= =．

当且仅当 ，即时取“=”，

即 ， 故面积的最大值为．