【题目】已知椭圆的右焦点为
,离心率为
.过定点
的直线
交椭圆
于不同的两点
,
(点
在点
,
之间).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若射线交椭圆
于点
(
为原点),求
面积的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
,由题意,
, 又因
,得
.
由,解得
.即得出椭圆
的方程;
(Ⅱ)当直线斜率不存在时,其方程为
,由
,得
,当直线
斜率存在时,设其为
,则直线
方程为
.由
,可得
则
(1)由
得
,判别式
,解得
,把韦达定理的式子带入(1)得出
,由
即可得出实数
的取值范围;
(Ⅲ)由椭圆的对称性可知, ,
,设点
到直线
的距离为
,由(Ⅱ)可知
,且
=
,利用基本不等式可求得
的最大值即可得出
面积的最大值.
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
,由题意,
, 又因
,得
.
由,解得
.故椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)当直线斜率不存在时,其方程为
,此时,
,
,
,
,由
,得
.
当直线斜率存在时,设其为
,则直线
方程为
.
设,
,则
,
.
由,可得
则
. (1)
由 得
,即
.
判别式,解得
.
且,
, 将其代入(1)得,
,由
,
, 解得
.又因
在
,
之间,所以
.
综上可得, 的取值范围是
.
(Ⅲ)由椭圆的对称性可知, ,
.
设点到直线
的距离为
,由(Ⅱ)可知
,
且
==
=
=
=
.
当且仅当
,即
时取“=”,
即 , 故
面积的最大值为
.
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【题目】设定义在R上的偶函数y=f(x),满足对任意t∈R都有f(t)=f(2﹣t),且x∈(0,1]时,f(x)= ,a=f(
),b=f(
),c=f(
),则( )
A.b<c<a
B.a<b<c
C.c<a<b
D.b<a<c
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【题目】在平面直角坐标系中,设动点
到两定点
,
的距离的比值为
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若直线过点
,且点
到直线
的距离为
,求直线
的方程,并判断直线
与曲线
的位置关系.
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【题目】已知O为坐标原点,P为双曲线 ﹣y2=1(a>0)上一点,过P作两条渐近线的平行线交点分别为A,B,若平行四边形OAPB的面积为
,则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知平面内圆心为的圆的方程为
,点
是圆上的动点,点
是平面内任意一点,若线段
的垂直平分线交直线
于点
,则点
的轨迹可能是_________.(请将下列符合条件的序号都填入横线上)
①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线;⑥一个点.
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【题目】已知椭圆C: +y2=1与直线l:y=kx+m相交于E、F两不同点,且直线l与圆O:x2+y2=
相切于点W(O为坐标原点).
(1)证明:OE⊥OF;
(2)设λ= ,求实数λ的取值范围.
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【题目】甲、乙两人相约于下午1:00~2:00之间到某车站乘公共汽车外出,他们到达车站的时间是随机的.设在下午1:00~2:00之间该车站有四班公共汽车开出,开车时间分别是1:15,1:30,1:45,2:00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率:
(1)约定见车就乘;
(2)约定最多等一班车.
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