【题目】已知实数x,y满足 ,则目标函数2x+y的最大值为 , 目标函数4x2+y2的最小值为 .
【答案】10;8
【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
设z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最大,
此时z最大.
由 ,解得
,即A(
,5),
代入目标函数z=2x+y得z=2× +5=5+5=10.
即目标函数z=2x+y的最大值为10.
设4x2+y2=m,则m>0,
即 +
=1,表示焦点在y轴的椭圆,
要使m最小,则只需要椭圆和直线BC:2x+y﹣4=0,相切即可,
由2x+y﹣4=0得y=﹣2x+4代入4x2+y2=m,得4x2+(﹣2x+4)2=m,
即8x2﹣16x+16﹣m=0,
则判别式△=162﹣4×8(16﹣m)=0,
得8=16﹣m,
则m=8,即目标函数4x2+y2的最小值为8,
所以答案是:10,8.
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【题目】设函数 .
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若函数f(x)存在极值,对于任意的0<x1<x2 , 存在正实数x0 , 使得f(x1)﹣f(x2)=f'(x0)(x1﹣x2),试判断x1+x2与2x0的大小关系并给出证明.
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【题目】已知正三角形ABC的边长为2,D、E、F分别是BC、CA、AB的中点.
(1)在三角形内部随机取一点P,求满足|PB|≥1且|PC|≥1的概率;
(2)在A、B、C、D、E、F这6点中任选3点,记这3点围成图形的面积为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
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【题目】输入x,求函数y=的值的程序框图如图C17所示.
(1)指出程序框图中的错误之处并写出正确的算法步骤.
(2)重新绘制程序框图,并回答下面提出的问题.
①要使输出的值为7,则输入的x的值应为多少?
②要使输出的值为正数,则输入的x应满足什么条件?
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【题目】如图,在四棱锥中,已知
平面
,且四边形
为直角梯形,
,
,
,点
,
分别是
,
的中点.
(I)求证:
平面
;
(Ⅱ)点是线段
上的动点,当直线
与
所成角最小时,求线段
的长.
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【题目】已知数列为等比数列,
,公比为
,且
,
为数列
的前
项和.
(1)若,求
;
(2)若调换的顺序后能构成一个等差数列,求
的所有可能值;
(3)是否存在正常数,使得对任意正整数
,不等式
总成立?若存在,求出
的范围,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知O为坐标原点,P为双曲线 ﹣y2=1(a>0)上一点,过P作两条渐近线的平行线交点分别为A,B,若平行四边形OAPB的面积为
,则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】设函数f(x)=x2+ax+b,a,b∈R.
(1)若2a+b=4,证明:|f(x)|在区间[0,4]上的最大值M(a)≥12;
(2)存在实数a,使得当x∈[0,b]时,1≤f(x)≤10恒成立,求实数b的最大值.
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