Question

10．已知曲线f（x）=$\frac{lo{g}_{2}（x+1）}{x+1}$（x＞0）上有一点列P_n（x_n，y_n）（n∈N*），过点P_n在x轴上的射影是Q_n（x_n，0），且x₁+x₂+x₃+…+x_n=2ⁿ⁺¹-n-2．（n∈N*）
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）设四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积是S_n，求S_n；
（3）在（2）条件下，求证：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{2{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{n{S}_{n}}$＜4．

Answer 1

分析 （1）求出n=1时，x₁=1；n≥2时，将n换为n-1，两式相减，即可得到所求通项公式；
（2）运用点满足函数式，代入化简，求出梯形的底和高，由梯形的面积公式，化简可得；
（3）求得：$\frac{1}{{n{S_n}}}=\frac{4}{n（3n+1）}=12（\frac{1}{3n}-\frac{1}{3n+1}）＜12（\frac{1}{3n}-\frac{1}{3n+3}）=4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得证．

解答 解：（1）n=1时，x₁=2²-1-2=1，
n≥2时，x₁+x₂+x₃+…+x_n-1=2ⁿ-（n-1）-2，①
又x₁+x₂+x₃+…+x_n=2ⁿ⁺¹-n-2，②
②-①得：x_n=2ⁿ-1（n=1仍成立）
故x_n=2ⁿ-1；                                       
（2）∵${y_n}=f（{x_n}）=\frac{{{{log}_2}（{2^n}-1+1）}}{{{2^n}-1+1}}=\frac{n}{2^n}$，
∴${Q_n}{Q_{n+1}}={2^n}$，又${P_n}{Q_n}=\frac{n}{2^n}$，${P_{n+1}}{Q_{n+1}}=\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
故四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积为：${S_n}=\frac{{\frac{n}{2^n}+\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}}}{2}×{2^n}=\frac{3n+1}{4}$；
（3）证明：$\frac{1}{{n{S_n}}}=\frac{4}{n（3n+1）}=12（\frac{1}{3n}-\frac{1}{3n+1}）＜12（\frac{1}{3n}-\frac{1}{3n+3}）=4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{{2{S_2}}}+…+\frac{1}{{n{S_n}}}＜4（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=4（1-\frac{1}{n+1}）＜4$．

点评 本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式，考查不等式的证明．注意运用放缩法和裂项相消求和，考查梯形的面积公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．