Question

4．[B]在几何中可以类比平面几何的结论推理空间几何的结论，如平面内的三点共线类比空间中的四点共面．
（1）已知点A，B，C是平面内三点，若存在实数λ，使得$\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{AC}$成立，则点A，B，C共线．类比上述结论，写出空间中四点共面的结论；
（2）已知（1）结论的逆命题正确，请利用其解决以下问题：已知点A，B，C，D是空间中共面的四点，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=1，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，试用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AD}$．

Answer 1

分析 （1）类比平面几何的结论推理空间几何的结论，即可得出结论；
（2）设$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），利用$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=0，得出μ=4λ，利用等面积，求出λ，μ的值，即可用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AD}$．

解答 解：（1）已知点A，B，C，D是空间中四点，若存在实数λ，μ，使得$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$成立，则点A，B，C，D共面；
（2）设$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=-λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+μ${\overrightarrow{AC}}^{2}$=-4λ+μ=0，
∴μ=4λ．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}|AB||AC|$=$\frac{1}{2}|BC||AD|$，
∴|AD|=$\frac{|AB||AC|}{|BC|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴|$\overrightarrow{AD}$|²=（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）²=4λ²+μ²=20λ²=$\frac{4}{5}$，
∴λ=$\frac{1}{5}$或λ=-$\frac{1}{5}$（舍去）
∴μ=$\frac{4}{5}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AC}$．

点评 本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．