Question

15．（1）已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|$=$|{\overrightarrow b}|$=3，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
（2）已知非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$与$7\overrightarrow a-5\overrightarrow b$互相垂直，$\overrightarrow a-4\overrightarrow b$与$\overrightarrow{7a}-2\overrightarrow b$互相垂直，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积的运算和向量模的计算即可，
（2）根据向量垂直的条件以及向量的夹角公式计算即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|$=$|{\overrightarrow b}|$=3，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$|{\overrightarrow a}|$•$|{\overrightarrow b}|$•cos120°=3×3×（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{2}$，
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$²=$|{\overrightarrow a}|$²+$|{\overrightarrow b}|$²+2$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=9+9+2×（-$\frac{9}{2}$）=9，$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$²=4$|{\overrightarrow a}|$²+$|{\overrightarrow b}|$²-4$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=36+9-4×（-$\frac{9}{2}$）=63，
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=3，$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=3$\sqrt{7}$；
（2）设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，
∵非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$与$7\overrightarrow a-5\overrightarrow b$互相垂直，$\overrightarrow a-4\overrightarrow b$与$\overrightarrow{7a}-2\overrightarrow b$互相垂直，
∴（$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$）•（$7\overrightarrow a-5\overrightarrow b$）=0，（$\overrightarrow a-4\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow{7a}-2\overrightarrow b$）=0，
∴7|$\overrightarrow{a}$|²-15|$\overrightarrow{b}$|²+16$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，7|$\overrightarrow{a}$|²+8|$\overrightarrow{b}$|²-30$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴|$\overrightarrow{b}$|²=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|²=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{a}$|=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$
又θ∈[0，π]
∴θ=$\frac{π}{3}$

点评 本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，属中档题．