Question

已知任意非零实数x，y满足3x²+4xy≤λ（x²+y²）恒成立，则实数λ的最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：把不等式3x²+4xy≤λ（x²+y²）化为λ≥

3x2+4xy

x2+y2

，分子分母同时除以y后换元，然后利用判别式法求最值得答案．

解答： 解：∵x、y都不为0，
由3x²+4xy≤λ（x²+y²），得：
λ≥

3x2+4xy

x2+y2

，
设t=

x

y

，则M=

3x2+4xy

x2+y2

=

3t2+4t

1+t2

．
即（3-M）t²+4t-M=0，
当M=3时，t=

3

4

；
当M≠3时，由△=4²+4M（3-M）=-4M²+12M+16≥0，
解得-1≤M≤4．
∴M的最大值为4．
则：λ≥4．
即λ的最小值是4．
故答案为：4．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了换元法，训练了利用判别式法求最值，是中档题．