Question

14．已知函数f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}{sin^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$，由周期公式可求函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的图象和性质即可求得最大值．
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，即可求得函数f（x）的单调增区间．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（1-cos2x）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（4分）
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{3}）$，…（6分）
所以函数f（x）的最小正周期为π．…（7分）
当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈{Z}$，即$x=\frac{5π}{12}+kπ，k∈{Z}$时取得最大值为1．…（9分）
（Ⅱ）令 $2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
得 $kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$．
故函数f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]，k∈Z$． …（13分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．