Question

20．记max{m，n}表示m，n中的最大值．如max{3，$\sqrt{10}$}=$\sqrt{10}$．已知函数f（x）=max{x²-1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax²+x}．
（1）求函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域；
（2）试探讨是否存在实数a，使得g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a对x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设F（x）=x²-1-2lnx，对其求导，及最小值，从而得到f（x）的解析式，进一步求值域即可．
（2）分别对a≤0和a＞0两种情况进行讨论，得到g（x）的解析式，进一步构造h（x），通过求导得到最值，得到满足条件的a的范围．

解答 解：（1）由题意设F（x）=x²-1-2lnx，则F'（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-1）（x+1）}{x}$，
所以x＞1时，F（x）递增，0＜x＜1时F（x）递减，
所以F（x）_min=F（1）=0，所以F（x）≥0即x²-1＞2lnx，
所以f（x）=x²-1，其在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为x=2时函数值3，x=$\frac{1}{2}$取最小值为$-\frac{3}{4}$，
所以函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域[-$\frac{3}{4}$，3]；
（2）①当a≤0时，因为x∈（1，+∞），所以x+lnx-（ax²+x）=lnx-ax²＞0，
所以x+lnx＞ax²+x，所以g（x）=x+lnx，当g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，
则lnx-$\frac{1}{2}$x＜4a对x∈（1，+∞）恒成立，设h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x，则h'（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}$，
令h'（x）＞0得1＜x＜2，h（x）递增，令h'（x）＜0得x＞2，h（x）递减，
所以h（x）_max=h（2）=ln2-1，所以a＞$\frac{ln2-1}{4}$，又a≤0，所以a∈（$\frac{ln2-1}{4}$，0]．
②当a＞0时，由①知x+lnx＜$\frac{3}{2}$x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，
若g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，则ax²+x＜$\frac{3}{2}$x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，
即2ax²-x-8a＜0对x∈（1，+∞）恒成立，显然不成立，
即a＞0时，不满足g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a对x∈（1，+∞）恒成立；
综上，存在实数a使得g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a，
对x∈（1，+∞）恒成立，a的取值范围是（$\frac{ln2-1}{4}$，0]．

点评 本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．