Question

8．如图：A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在单位圆上且B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），P是劣弧$\widehat{AB}$上一点（不包括端点A、B），∠AOP=θ，∠BOP=α，$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$，四边形OAQP的面积为S．
（1）当θ=$\frac{π}{6}$时，求cosα；
（2）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$+S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用B的坐标，表示出$α+\frac{π}{6}$的三角函数值，利用两角和与差的三角函数求解cosα．
（2）表示出向量以及数量积，化简表达式，利用三角函数的有界性求解表达式的范围即可．

解答 （本小题满分15分）
解：（1）$cos（α+\frac{π}{6}）=-\frac{3}{5}，sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{4}{5}$…..（2分）$cosα=cos[（α+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos（α+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{{4-3\sqrt{3}}}{10}$…..（6分）
（2）$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OQ}$=（cosθ+1，sinθ），S=sinθ   
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$+S=sinθ+cosθ+1…..（9分）
=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）+1…..（10分）$θ∈（{0，π-arcsin\frac{4}{5}}），θ+\frac{π}{4}∈（{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}-arcsin\frac{4}{5}}），sin（{θ+\frac{π}{4}}）∈（{\frac{{\sqrt{2}}}{10}，1}]$…．（13分）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OQ}+S=\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）+1∈（{\frac{6}{5}，\sqrt{2}+1}]$…．（15分） 
（注：左边$\frac{6}{5}$未算出，其余全对，扣2分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．