Question

8．已知直线l₁：x+y-2=0，直线l₂过点（0，5），记l₁，l₂的夹角为θ，若sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则l₁，l₂的交点坐标为（　　）

• A． （-$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$）或（-$\frac{9}{4}$，$\frac{17}{4}$）
• B． （-$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$）或（$\frac{9}{4}$，-$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$）或（-$\frac{9}{4}$，$\frac{17}{4}$）
• D． （$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$）或（$\frac{9}{4}$，-$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 由题意和夹角公式易得直线l₂的斜率，可得方程，分别和l₁联立解方程组可得交点坐标．

解答 解：∵l₁，l₂的夹角为θ，sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=2，
∵直线l₁：x+y-2=0的斜率为-1，设直线l₂的斜率为k，
∴2=|$\frac{-1-k}{1+（-1）k}$|，解得k=$\frac{1}{3}$或k=3，
∴直线l₂的方程为y=$\frac{1}{3}$x+5或y=3x+5，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{y=\frac{1}{3}x+5}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{4}}\\{y=\frac{17}{4}}\end{array}\right.$；
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{y=3x+5}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{4}}\\{y=\frac{11}{4}}\end{array}\right.$．
∴l₁，l₂的交点坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$）或（-$\frac{9}{4}$，$\frac{17}{4}$）
故选：A

点评 本题考查直线的交点坐标，涉及直线的夹角公式和分类讨论，属中档题．