Question

17．（1）利用关系式log_aN=b?a^b=N证明换底公式：
logaN=$\frac{{log}_{m}N}{{log}_{m}a}$；
（2）利用（1）中的换底公式求下式的值：
log₂25•log₃4•log₅9
（3）利用（1）中的换底公式证明：
log_ab•log_bc•log_ca=1．

Answer 1

分析 （1）设a^b=N，则$lo{g}_{m}{a}^{b}$=log_mN，化为blog_ma=log_mN，又b=log_aN，即可证明；
（2）利用换底公式可得：log₂25•log₃4•log₅9=$\frac{2lg5}{lg2}$$•\frac{2lg2}{lg3}$•$\frac{2lg3}{lg5}$，即可得出；
（3）利用换底公式可得：log_ab•log_bc•log_ca=$\frac{lgb}{lga}•\frac{lgc}{lgb}•\frac{lga}{lgc}$，即可证明．

解答 （1）证明：设a^b=N，则$lo{g}_{m}{a}^{b}$=log_mN，化为blog_ma=log_mN，又b=log_aN，∴logaN=$\frac{{log}_{m}N}{{log}_{m}a}$；
（2）解：log₂25•log₃4•log₅9=$\frac{2lg5}{lg2}$$•\frac{2lg2}{lg3}$•$\frac{2lg3}{lg5}$=8；
（3）证明：log_ab•log_bc•log_ca=$\frac{lgb}{lga}•\frac{lgc}{lgb}•\frac{lga}{lgc}$=1．
∴log_ab•log_bc•log_ca=1．

点评 本题考查了对数的运算性质、换底公式及其应用，考查了计算能力，属于中档题．