Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=cosφ y=sinφ

（φ为参数），曲线C₂的参数方程为

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C₁，C₂各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=

π

2

时，这两个交点重合．
（I）分别说明C₁，C₂是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当α=

π

4

时，l与C₁，C₂的交点分别为A₁，B₁，当α=-

π

4

时，l与C₁，C₂的交点为A₂，B₂，求四边形A₁A₂B₂B₁的面积．

Answer 1

分析：（I）有曲线C₁的参数方程为

x=cosφ y=sinφ

（φ为参数），曲线C₂的参数方程为

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，φ为参数），消去参数的C₁是圆，C₂是椭圆，并利用．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=

π

2

时，这两个交点重合，求出a及b．
（II）利用C₁，C₂的普通方程，当α=

π

4

时，l与C₁，C₂的交点分别为A₁，B₁，当α=-

π

4

时，l与C₁，C₂的交点为A₂，B₂，利用面积公式求出面积．

解答：解：（Ⅰ）C₁是圆，C₂是椭圆．
当α=0时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），
因为这两点间的距离为2，所以a=3
当α=

π

2

时，射线l与C₁，C₂交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），
因为这两点重合
所以b=1．
（Ⅱ）C₁，C₂的普通方程为x²+y²=1和

x2

9

+y2=1．
当α=

π

4

时，射线l与C₁交点A₁的横坐标为x=

2

2

，
与C₂交点B₁的横坐标为x′=

3 10

10

．
当α=-

π

4

时，射线l与C₁，C₂的两个交点A₂，
B₂分别与A₁，B₁关于x轴对称，因此四边形A₁A₂B₂B₁为梯形．
故四边形A₁A₂B₂B₁的面积为

(2x′+2x)(x′-x)

2

=

2

5

．

点评：此题重点考查了消参数，化出曲线的一般方程，及方程的求解思想，还考查了利用条件的其交点的坐标，利用坐标准确表示出线段长度进而求其面积．