Question

13．已知函数f（x）=e^x，g（x）=-x²+ax-a（a∈R），点M，N分别在f（x），g（x）的图象上．
（1）若函数f（x）在x=0处的切线恰好与g（x）相切，求a的值；
（2）若点M，N的横坐标均为x，记h（x）=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$，当x=0时，函数h（x）取得极大值，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）先根据导数的几何意义求出f（x）在x=0处的切线方程，再与g（x）联立构成方程组，消元，根据判别式即可求出a的值．
（2）表示出M，N的坐标，求出h（x）的表达式，再根据导数和函数的极值的关系即可求出a的值．

解答 解（1）：f'（x）=e^x，
∴在x=0即切点为（0，1）处的切线斜率k=f'（0）=1，
即切线为y=x+1，
∴联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x^2}+ax-a}\end{array}}\right.$，得x²+（1-a）x+1+a=0，
由相切得△=（1-a）²-4（1+a）=0，
解得$a=3±2\sqrt{3}$
（2）M（x，e^x），N（x，-x²+ax-a），
∴h（x）=x²-e^x（x²-ax+a），
∴h'（x）=2x-e^x[x²+（2-a）x]=-x[e^x（x+2-a）-2]，
由h（x）取得极值，则x=0或e^x（x+2-a）-2=0，
∴$a=x+2-\frac{2}{e^x}$，令$F（x）=x+2-\frac{2}{e^x}$，该函数在R上单调递增，
∴存在唯一的x₀∈R，使得F（x₀）=a，
①若x₀＞0，则

x	（-∞，0）	0	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
h'（x）	-	0	+	0	-
h（x）	递减	极小	递增	极大	递减

此时x=0时为极小值；
②若x₀=0，则

x	（-∞，0）	（0，+∞）
h'（x）	-	-
h（x）	递减	递减

此时x=0时无极小值；
③若x₀＜0，则

x	（-∞，x0）	x0	（x0，0）	0	（0，+∞）
h'（x）	-	0	+	0	-
h（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

此时x=0时为极大值，
综上所述必须，x₀＜0，a=F（x₀），而F（x）在R上单调递增，
故a=F（x₀）＜F（0）=0．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属中档题．