Question

1．近年来，某地区为促进本地区发展，通过不断整合地区资源、优化投资环境、提供投资政策扶持等措施，吸引外来投资，效果明显．该地区引进外来资金情况如表：

年份	2012	2013	2014	2015	2016
时间代号t	1	2	3	4	5
外来资金y（百亿元）	5	6	7	8	10

（Ⅰ）求y关于t的回归直线方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$t+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）根据所求回归直线方程预测该地区2017年（t=6）引进外来资金情况．
参考公式：回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$t+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$t．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得$\sum_{i=1}^{n}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=4.4+1.2+0+0.8+5.6=12，$\sum_{i=1}^{n}$（t_i-$\overline{t}$）²=10，利用最小二乘法求得线性回归方程的斜率和截距，即可求得y关于t的回归直线方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$t+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）当x=6时，代入线性回归方程，即可求得该地区2017年引进外来资金．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：

时间代号t	1	2	3	4	5
ti-$\overline{t}$	-2	-1	0	1	2
（ti-$\overline{t}$）2	4	1	0	1	4
外来资金y（百亿元）	5	6	7	8	10
yi-$\overline{y}$	-2.2	-1.2	-0.2	0.8	2.8
（ti-$\overline{t}$）（yi-$\overline{y}$）=	4.4	1.2	0	0.8	5.6

由题意得$\overline{t}$=$\frac{1+2+3+4+5}{5}$=3，$\overline{y}$=$\frac{5+6+7+8+10}{5}$=7.2，…（2分）
$\sum_{i=1}^{n}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=4.4+1.2+0+0.8+5.6=12，$\sum_{i=1}^{n}$（t_i-$\overline{t}$）²=10，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{12}{10}$=1.2，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$t=7.2-1.2×3=3.6，
∴y关于t的回归方程为$\widehat{y}$=1.2t+3.6．…（8分）
（Ⅱ）当t=6时，$\widehat{y}$=1.2×6+3.6=10.8，
∴预测该地区2017年引进外来资金约10.8百亿元．…（12分）

点评 本题考查线性回归方程的应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程的斜率和截距的方法，考查学生的计算能力，属于中档题．