Question

16．设x，y均为非零实数，且满足$\frac{xsin\frac{π}{5}+ycos\frac{π}{5}}{xcos\frac{π}{5}-ysin\frac{π}{5}}$=tan$\frac{9π}{20}$．
（1）求$\frac{y}{x}$的值；
（2）在△ABC中，若tanC=$\frac{y}{x}$，求sin2A+2cosB的最大值．

Answer 1

分析 （1）令tanθ=$\frac{y}{x}$，利用两角和的正切公式化简条件可得 tan（$\frac{π}{5}$+θ）=tan$\frac{9π}{20}$，可得$\frac{π}{5}$+θ=$\frac{9π}{20}$+kπ，k∈Z，由此求得 tanθ=$\frac{y}{x}$ 的值．
（2）在△ABC中，若tanC=$\frac{y}{x}$=1，利用三角恒等变换化简sin2A+2cosB为-2${（cosB-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，再利用二次函数的性质，求得它的最大值．

解答 解：（1）∵x，y均为非零实数，且满足$\frac{xsin\frac{π}{5}+ycos\frac{π}{5}}{xcos\frac{π}{5}-ysin\frac{π}{5}}$=tan$\frac{9π}{20}$=$\frac{tan\frac{π}{5}+\frac{y}{x}}{1-tan\frac{π}{5}•\frac{y}{x}}$，
令tanθ=$\frac{y}{x}$，则$\frac{tan\frac{π}{5}+tanθ}{1-tan\frac{π}{5}•tanθ}$=tan$\frac{9π}{20}$，即 tan（$\frac{π}{5}$+θ）=tan$\frac{9π}{20}$，
∴$\frac{π}{5}$+θ=$\frac{9π}{20}$+kπ，k∈Z，
即θ=kπ+$\frac{π}{4}$，∴tanθ=$\frac{y}{x}$=1．
（2）在△ABC中，若tanC=$\frac{y}{x}$=1，则C=$\frac{π}{4}$，∴A+B=$\frac{3π}{4}$，
∴sin2A+2cosB=sin2（$\frac{3π}{4}$-B）+2cosB=-cos2B+cosB=-2cos²B+2cosB+1=-2${（cosB-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
故当cosB=$\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$时，sin2A+2cosB 取得最大值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查两角和的正切公式，三角恒等变换，二次函数的性质，属于中档题．