Question

6．设函数f（x）=sin2x+a（1+cosx）-2x在x=$\frac{5π}{6}$处取得极值．
（1）若f（x）的导函数为f'（x），求f'（x）的最值；
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数在x=$\frac{5π}{6}$处取得极值，求出a的值，从而求出函数的单调区间，求出函数的最值即可；
（2）求出函数的在闭区间的单调性，求出函数的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=2cos2x-asinx-2，
∵f（x）在x=$\frac{5π}{6}$处取得极值，
∴f′（$\frac{5π}{6}$）=1-$\frac{1}{2}$a-2=0，解得：a=-2，
∴f′（x）=-4${（sinx-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，
∵-1≤sinx≤1，
∴sinx=$\frac{1}{4}$时，f′（x）取得最大值$\frac{1}{4}$，
sinx=-1时，f′（x）取得最小值-6；
（2）由f′（x）=-4sin²x+2sinx≥0，解得：0≤sinx≤$\frac{1}{2}$，
∵x∈[0，π]，∴x∈[0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{5π}{6}$．π]时，f′（x）≥0，
x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]递增，在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]递减，在[$\frac{5π}{6}$．π]递增，
∵f（0）=-4，f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}-12-10π}{6}$＜$\frac{-12-12}{6}$，
∴f（x）的最小值是f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}-12-10π}{6}$，
∵f（$\frac{π}{6}$）=-2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{3}$，f（π）=-2π＜-4＜f（$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最大值是f（$\frac{π}{6}$）=-$\frac{12+3\sqrt{3}+2π}{6}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．