Question

16．如图，△ABC是圆O的内接三角形，P是BA的延长线上一点，且PC切圆O于点C．
（1）求证：AC•PC=PA•BC；
（2）若PA=AB=BC，且PC=4，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）PC为圆O的切线，则∠PCA=∠PBC，由∠CPA=∠BPC，△CAP～△BCP，$\frac{AC}{BC}=\frac{PA}{PC}$，AC•PC=PA•BC；
（2）设PA=x（x＞0），则AB=BC=x，切割线定理可得，PA•PB=PC²，解得：$x=2\sqrt{2}$，则$PA=BC=2\sqrt{2}$，$4AC=2\sqrt{2}•2\sqrt{2}$，即可求得AC=2．

解答 解：（1）∵PC为圆O的切线，
∴∠PCA=∠PBC，
又∵∠CPA=∠BPC，
∴△CAP～△BCP，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{PA}{PC}$，
即AC•PC=PA•BC．
（2）设PA=x（x＞0），则AB=BC=x，
由切割线定理可得，PA•PB=PC²，
∴x•2x=4²，
解得：$x=2\sqrt{2}$或$x=-2\sqrt{2}$（舍），
∴$PA=BC=2\sqrt{2}$，
由（1）知，AC•PC=PA•BC，
∴$4AC=2\sqrt{2}•2\sqrt{2}$，
∴AC=2．

点评 本题考查圆的切线性质，考查相似三角形的性质，切割线定理应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．