Question

6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（a≥b），sin（$\frac{π}{3}-A$）=sinB，asinC=$\sqrt{3}$sinA，则a+b的最大值为2．

Answer 1

分析 a≥b，sin（$\frac{π}{3}-A$）=sinB，可得$\frac{π}{3}$-A=B，即A+B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{2π}{3}$．由asinC=$\sqrt{3}$sinA，可得c=$\sqrt{3}$．利用正弦定理可得a+b=2（sinA+sinB）=2sinA+2sin$（\frac{π}{3}-A）$=2sin$（A+\frac{π}{3}）$，由于A∈$[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$，可得sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵a≥b，sin（$\frac{π}{3}-A$）=sinB，
∴$\frac{π}{3}$-A=B，$\frac{π}{3}$-A=π-B，（舍去）．
即A+B=$\frac{π}{3}$，∴C=$\frac{2π}{3}$．
∵asinC=$\sqrt{3}$sinA，∴ac=$\sqrt{3}a$，因此c=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=2，
∴a+b=2（sinA+sinB）=2sinA+2sin$（\frac{π}{3}-A）$
=2sinA+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$sinA）
=sinA+$\sqrt{3}$cosA
=2sin$（A+\frac{π}{3}）$，
∵A∈$[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$，∴sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
∴a+b∈（$\sqrt{3}$，2]．
故答案为：2．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．