Question

16．已知椭圆$Γ：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，过点P（1，1）的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，若弦AB恰好以点P为中点，则直线l的方程为4y+3x-7=0．（写成一般式）

Answer 1

分析 将直线A，B坐标代入椭圆方程，作差，求得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1-}{y}_{2}）}{3}$=0，利用中点坐标公式，即可求得直线AB的斜率，根据直线的点斜式方程，即可求得直线l的方程．

解答 解：设A，B点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由A，B在椭圆上，则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$②，
①-②得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1-}{y}_{2}）}{3}$=0，
由AB的中点坐标为P（1，1），即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
由直线AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
由直线的点斜式方程可知：y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），
整理得：4y+3x-7=0，
故答案为：4y+3x-7=0．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法求直线方程的方法，注意运用斜率公式和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．