Question

5．若函数f（x）=xe^x-a有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（-\frac{1}{e}，+∞）$
• B． $（-\frac{1}{e}，0）$
• C． （-e，0）
• D． （0，e）

Answer 1

分析 求导，令f′（x）=0，解得：x=-1，令f′（x）＜0，求得单调递减区间，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，当x=-1时，函数取最小值f（-1）=-e-^x-a，函数f（x）=xe^x-a有两个零点，则f（-1）=-e-^x-a＜0，a＞-$\frac{1}{e}$，由a≥0时，x∈（-∞，-1）时，f（x）=xe^x-a恒成立，不存在零点，即可求得a的取值范围．

解答 解：由函数f（x）=xe^x-a的导函数f（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，即（x+1）e^x=0，解得：x=-1，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
故当x=-1时，函数取最小值f（-1）=-e^-1-a，
若函数f（x）=xe^x-a有两个零点，则f（-1）=-e^-1-a＜0，
即a＞-$\frac{1}{e}$，
又a≥0时，x∈（-∞，-1）时，f（x）=xe^x-a恒成立，不存在零点，
故a＜0，
综上可知：-$\frac{1}{e}$＜a＜0，
实数a的取值范围（-$\frac{1}{e}$，0），
故选B．

点评 本题考查导数的与函数零点的应，考查利用导数求函数的单调区间及最值，考查导数求导法则的应用，属于中档题．