Question

10．已知平行于x轴的直线分别交曲线y=e^2x+1与y=$\sqrt{2x-1}$于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）

• A． $\frac{5+ln2}{4}$
• B． $\frac{5-ln2}{4}$
• C． $\frac{3+ln2}{4}$
• D． $\frac{3-ln2}{4}$

Answer 1

分析 设A（x₁，a），B（x₂，a），用a表示出x₁，x₂，求出|AB|，令y=x²-lnx，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：设A（x₁，a），B（x₂，a），
则a=e^2x₁+1=$\sqrt{2{x}_{2}-1}$，
x₁=$\frac{1}{2}$（lna-1），x₂=$\frac{1}{2}$（a²+1），
可得|AB|=|x₂-x₁|=$\frac{1}{2}$|a²-lna+2|，
令y=x²-lnx，则y′=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）（x+\frac{\sqrt{2}}{2}）}{x}$，
函数在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上单调递减，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上单调递增，
可得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数y的最小值为$\frac{1}{2}$（1+ln2），
即有|AB|的最小值为$\frac{5+ln2}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键．