Question

20．设实数m、n、x、y满足m²+n²=a，x²+y²=b，其中a、b为正的常数，则mx+ny的最大值是（　　）

• A． $\frac{a+b}{2}$
• B． $\sqrt{a•b}$
• C． $\frac{2ab}{a+b}$
• D． $\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$

Answer 1

分析 可利用三角换元求解．令m=$\sqrt{a}$cosα，n=$\sqrt{a}$sinα，x=$\sqrt{b}$cosβ，y=$\sqrt{b}$sinβ，将其代入mx+ny中，由三角函数公式和最值分析可得答案．

解答 解：令m=$\sqrt{a}$cosα，n=$\sqrt{a}$sinα，x=$\sqrt{b}$cosβ，y=$\sqrt{b}$sinβ，
则mx+ny=$\sqrt{ab}$cosαcosβ+$\sqrt{ab}$sinαsinβ=$\sqrt{ab}$cos（α-β）≤$\sqrt{ab}$，
当cos（α-β）=1时，取得最大值$\sqrt{ab}$．
故选B．

点评 本题主要考查求最值问题的解法，注意运用三角换元，注意利用基本不等式求最值的条件易忽略，属于中档题和易错题．