Question

9．记椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{{n{y^2}}}{4n+1}$=1围成的区域（含边界）为Ω_n（n=1，2，3…），当点（x，y）分别在Ω₁，Ω₂，…上时，x+y的最大值分别是M₁，M₂，…，则$\lim_{n→+∞}{M_n}$=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 将椭圆的标准方程转化成参数方程，x+y=2cosθ+$\sqrt{4+\frac{1}{n}}$sinθ=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$sin（θ+φ），根据正弦函数的性质可知：（x+y）_max=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$=$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$．$\underset{lim}{n→∞}$M_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$=2$\sqrt{2}$．

解答 解：把椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{{n{y^2}}}{4n+1}$=1得，
椭圆的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{4+\frac{1}{n}}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴x+y=2cosθ+$\sqrt{4+\frac{1}{n}}$sinθ=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$sin（θ+φ），
由正弦函数的性质可知：当sin（θ+φ）=1时，x+y取最大值，
∴（x+y）_max=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$=$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$．
∴$\underset{lim}{n→∞}$M_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的参数方程，考查辅助角公式的应用，正弦函数的最值，考查数列极限的应用，考查计算能力，技巧性强，要求学生对高中所学知识的综合应用，属于难题．