Question

15．已知函数f（x）=${log_{\frac{1}{2}}}|{sin（x-\frac{π}{4}）}$|．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判定f（x）的奇偶性，并求出它的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式，求得函数的定义域和值域．
（2）利用正弦函数的单调性，复合函数的单调性规律，求得f（x）的单调区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$|sin（x-$\frac{π}{4}$）|，∴sin（x-$\frac{π}{4}$）≠0，∴x-$\frac{π}{4}$≠kπ，即 x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}．
∵|sin（x-$\frac{π}{4}$）|∈（0，1]，∴数f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$|sin（x-$\frac{π}{4}$）|≥0，故函数的值域为[0，+∞）．
（2）函数的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z} 不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数．
当kπ＜x-$\frac{π}{4}$≤kπ+$\frac{π}{2}$时，即x∈（kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]时，|sin（x-$\frac{π}{4}$）|单调递增，f（x）单调递减，
故函数的减区间为（kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]．
当kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{4}$＜kπ+π时，即x∈[kπ+$\frac{3π}{4}$，kπ+$\frac{5π}{4}$）时，|sin（x-$\frac{π}{4}$）|单调递减，f（x）单调递增，
故函数的增区间为[kπ+$\frac{3π}{4}$，kπ+$\frac{5π}{4}$）．

点评 本题主要考查函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，复合函数的单调性，属于中档题．