Question

5£®ÒÑÖªÍÖÔ²C₁£º$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1µÄ×ó¡¢ÓÒÁ½¸ö½¹µã·Ö±ðΪF₁¡¢F₂£¬ÀëÐÄÂÊΪ$\frac{1}{2}$£¬ÇÒÅ×ÎïÏßC₂£ºy²=4mx£¨m£¾0£©ÓëÍÖÔ²C₁Óй«¹²½¹µãF₂£¨1£¬0£©£®
£¨1£©ÇóÍÖÔ²ºÍÅ×ÎïÏߵķ½³Ì£»
£¨2£©ÉèA¡¢BΪÍÖÔ²ÉϵÄÁ½¸ö¶¯µã£¬$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0£¬¹ýÔ­µãO×÷Ö±ÏßABµÄ´¹ÏßOD£¬´¹×ãΪD£¬ÇóµãDΪ¹ì¼£·½³Ì£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÓÉÌâÒâ¿ÉÖª£ºc=1£¬ÍÖÔ²µÄÀëÐÄÂÊe=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$£¬¼´¿ÉÇóµÃaºÍbµÄÖµ£¬ÇóµÃÍÖÔ²·½³Ì£¬F₂£¨1£¬0£©ÎªÅ×ÎïÏßC₂£ºy²=4mx£¨m£¾0£©µÄ½¹µã¿ÉµÃm=1£¬
¼´¿ÉÇóµÃÅ×ÎïÏß·½³Ì£»
£¨2£©µ±Ö±ÏßбÂʴ棬ÉèÖ±ÏßABµÄ·½³ÌΪy=kx+n£¬´úÈëÍÖÔ²·½³Ì£¬ÓÉΤ´ï¶¨Àí¼°ÏòÁ¿ÊýÁ¿»ýµÄ×ø±êÔËË㣬´úÈëÕûÀí¿ÉÖª£º7n²-12k²-12=0£¬ÓÉOD¡ÍAB£¬Ôò$k=-\frac{x_0}{y_0}$£¬µãDÔÚÖ±ÏßABÉÏ£¬y₀=kx₀+n£¬ÕûÀíÇóµÃµãDµÄ¹ì¼£·½³ÌΪ${x^2}+{y^2}=\frac{12}{9}£¨y¡Ù0£©$£¬µ±Ö±ÏßABµÄбÂʲ»´æÔÚʱ£¬$D£¨¡À\frac{{2\sqrt{21}}}{7}£¬0£©£¬Âú×ã{x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$£¬¼´¿ÉÇóµÃµãDΪ¹ì¼£·½³Ì£®

½â´ð ½â£º£¨1£©ÓÉÌâÒâÖªÍÖÔ²C₁ÖÐF₂£¨1£¬0£©Ôò£ºc=1£¬
ÓÉÍÖÔ²µÄÀëÐÄÂÊe=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$
¡à$a=2£¬b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$
¹ÊÍÖÔ²µÄ·½³ÌΪ$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1¡­£¨2·Ö£©
ÓÉF₂£¨1£¬0£©ÎªÅ×ÎïÏßC₂£ºy²=4mx£¨m£¾0£©µÄ½¹µã¿ÉµÃm=1£¬
¡àÅ×ÎïÏߵķ½³ÌΪy²=4x¡­£¨4·Ö£©
£¨2£©µ±Ö±ÏßABµÄбÂÊk´æÔÚʱ
ÉèÖ±ÏßABµÄ·½³ÌΪy=kx+n£¬ÉèA£¨x₁£¬y₁£©£¬B£¨x₂£¬y₂£©
ÁªÁ¢$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+n\end{array}\right.$£¬
µÃ£¨4k²+3£©x²+8knx+4n²-12=0¡­£¨6·Ö£©
¡à${x_1}+{x_2}=-\frac{8kn}{{4{k^2}+3}}£¬{x_1}{x_2}=\frac{{4{n^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$£¬
¡à${y_1}{y_2}=£¨k{x_1}+n£©£¨k{x_2}+n£©={k^2}{x_1}{x_2}+kn£¨{x_1}+{x_2}£©+{n^2}$£¬
¡ß$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$£¬
¡àx₁x₂+y₁y₂=0£¬
¼´$£¨{k^2}+1£©{x_1}{x_2}+kn£¨{x_1}+{x_2}£©+n=0£¬\frac{{\{{k^2}+1\}£¨4{n^2}-12£©}}{{4{k^2}+3}}-\frac{{8{k^2}{n^2}}}{{4{k^2}+3}}+{n^2}=0$£¬
¡à7n²-12k²-12=0¢Ù¡­£¨8·Ö£©
ÓÖ¡ßOD¡ÍAB£¬ÉèD£¨x₀£¬y₀£©£¬
¡à$k=-\frac{x_0}{y_0}$¢Ú
ÓÖ¡ßµãDÔÚÖ±ÏßABÉÏ£¬
¡ày₀=kx₀+n£¬
¡à$n={y_0}-k{x_0}={y_0}+\frac{x_0^2}{y_0}$¢Û¡­£¨10·Ö£©
°Ñ¢Ú¢Û´úÈë¢ÙµÃ$7{£¨{y_0}+\frac{x_0^2}{y_0}£©^2}-12\frac{x_0^2}{y_0^2}-12=0$£¬
¡à$\frac{x_0^2+y_0^2}{y_0^2}[7£¨x_0^2+y_0^2£©-12]=0$£¬
¡à$x_0^2+y_0^2=\frac{12}{7}$£¬
¡àµãDµÄ¹ì¼£·½³ÌΪ${x^2}+{y^2}=\frac{12}{9}£¨y¡Ù0£©$£¬
µ±Ö±ÏßABµÄбÂʲ»´æÔÚʱ£¬$D£¨¡À\frac{{2\sqrt{21}}}{7}£¬0£©£¬Âú×ã{x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$
¡àµãDµÄ¹ì¼£·½³ÌΪ${x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$¡­£¨13·Ö£©

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÍÖÔ²µÄ±ê×¼·½³Ì£¬¿¼²éÖ±ÏßÓëÍÖÔ²µÄλÖùØϵ£¬¿¼²é¹ì¼£·½³ÌµÄÇ󷨣¬Î¤´ï¶¨Àí¼°ÏòÁ¿ÊýÁ¿»ýµÄ×ø±ê±íʾ£¬¿¼²é¼ÆËãÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮