Question

16．已知Rt△ABC中，∠C=90°．AC=3，BC=4，P为线段AB上的点，且$\overrightarrow{CP}$=$\frac{x}{|\overrightarrow{CA}|}$•$\overrightarrow{CA}$+$\frac{y}{|\overrightarrow{CB}|}$•$\overrightarrow{CB}$，则xy的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 4

Answer 1

分析 根据三点共线的向量式子，得出x与y的关系．根据基本不等式得出xy的最大值．

解答 解：P为线段AB上的点，且$\overrightarrow{CP}$=$\frac{x}{|\overrightarrow{CA}|}$•$\overrightarrow{CA}$+$\frac{y}{|\overrightarrow{CB}|}$•$\overrightarrow{CB}$．
∴$\frac{x}{|\overrightarrow{CA}|}+\frac{y}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$且x＞0，y＞0
∴$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}≥2\sqrt{\frac{x}{3}•\frac{y}{4}}=\sqrt{\frac{xy}{3}}$
∴xy≤3
当且仅当$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$时，等号成立．
则xy的最大值为3．
故选：A．

点评 考查平面向量三点共线问题，基本不等式．