Question

1．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若对于t∈R，不等式f（2t²-k）+f（t²-2t）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0可求得b，再由f（-x）=$\frac{{2}^{x}-1}{1+a{•2}^{x}}$=-f（x）=-$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$可求得a的值；
（2）由（1）知，$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为减函数，不等式f（2t²-k）+f（t²-2t）＜0恒成立?f（2t²-k）＜-f（t²-2t）=f（2t-t²）恒成立?k＜（3t²-2t）_min，从而可求得k的取值范围．

解答 解：（1）∵定义域为R的函数$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函数，
∴f（0）=$\frac{b-{2}^{0}}{{2}^{0}+a}$=0，∴b=1；
∴$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$，
∵f（-x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{{2}^{-x}+a}$=$\frac{{2}^{x}-1}{1+a{•2}^{x}}$=-f（x）=-$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$，
∴1+a•2^x=2^x+a，
∴a=1，
∴a=b=1；
（2）对于t∈R，不等式f（2t²-k）+f（t²-2t）＜0恒成立?f（2t²-k）＜-f（t²-2t）=f（2t-t²），
由（1）知，$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为减函数，
∴2t²-k＞2t-t²恒成立，
∴k＜（3t²-2t）_min，
又y=3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$≥-$\frac{1}{3}$，
∴k＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性的应用，考查函数与方程思想、等价转化思想的综合运用，考查运算能力，属于中档题．