Question

【题目】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．

（1）求证：FH∥平面EDB；
（2）求证：AC⊥平面EDB；
（3）解：求二面角B﹣DE﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，

∴GH∥AB且GH= AB，又EF∥AB且EF= AB，∴EF∥GH且EF=GH，

∴四边形EFHG为平行四边形

∴EG∥FH，而EG平面EDB，∴FH∥平面EDB

（2）证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC

而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，

又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC

∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥BC，FH⊥AC，

又FH∥EG，∴AC⊥EG

又AC⊥BD，EG∩BD=G，

∴AC⊥平面EDB

（3）EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，

在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，则

∠FKB为二面角B﹣DE﹣C的一个平面角，

设EF=1，则AB=2，FC= ，DE= ，

又EF∥DC，∴∠KEF=∠EDC，

∴sin∠EDC=sin∠KEF= ，

∴FK=EFsin∠KEF= ，

tan∠FKB= = ，

∴∠FKB=60°，

∴二面角B﹣DE﹣C为60°．

【解析】（1）设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，可得四边形EFHG为平行四边形，然后利用直线与平面平行判断定理进行证明；（2）因为四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，可得EF⊥BC，要证FH⊥平面ABCD，FH⊥平面ABCD，从而求解．（3）在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，可知∠FKB为二面角B﹣DE﹣C的一个平面角，然后设EF=1，在直角三角形中进行求证．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．