Question

已知a∈R，函数f(x)=

a

x

+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)•

n

k=1

ln[k(k+1)(k+2)]＞(n-

1

4

)•ln

en

n!

      (n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的定义域，然后求出导函数f'（x）=0的值为a，讨论a与区间（0，e]的位置关系，根据函数的单调性可求出函数函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）先求导函数g′(x)=(

1

x

+lnx-1)•ex+1，根据（1）可知：当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx-1在区间（0，e]上有最小值ln1=0则f(x)=

1

x

+lnx-1≥0，从而当x₀∈（0，e]时，g′(x0)=(

1

x0

+lnx0-1)•ex0+1＞0，曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于：方程g'（x₀）=0有实数解，而 g'（x₀）＞0即方程g'（x₀）=0无实数解，从而得到结论；
（3）由（1）可知：当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx-1≥0对?x∈[0，+∞）恒成立，即当x≥0时，恒有

1

x

≥1-lnx（*）
取x=n（n∈N^*），得

1

n

≥1-lnn则1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥n-(ln1+ln2+ln3+…+lnn) =n-ln(n!)=ln

en

n!

故1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

   (n∈N*)，在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N^*），然后利用裂项法进行求和可得结论．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
∵f(x)=

a

x

+lnx-1∴f′(x)=

x-a

x2

令　f′(x)=

x-a

x2

=0   ⇒  x=a
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时，f（x）无最小值；
②若0＜a＜e，则当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，当x∈[a，e]时，f'（x）＞0，
∴f（x）在区间（0，a]上单调递减，在区间（a，e]上单调递增，
∴当x=a时，f（x）有最小值lna；
③若a≥e，则f'（x）≤0，f（x）在区间（0，e]上单调递减，
∴当x=e时，f（x）有最小值

a

e

．
综上：f(x)min=

不存在      a≤0 lna       0＜a＜e a e           a≥e

（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x∴g′(x)=(

1

x

+lnx-1)•ex+1
由（1）可知：当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx-1在区间（0，e]上有最小值ln1=0
∴f(x)=

1

x

+lnx-1≥0
∴当x₀∈（0，e]时，g′(x0)=(

1

x0

+lnx0-1)•ex0+1＞0
∵曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于：方程g'（x₀）=0有实数解，而 g'（x₀）＞0即方程g'（x₀）=0无实数解，故不存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．
（3）（理）由（1）可知：当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx-1≥0对?x∈[0，+∞）恒成立，
即  当x≥0时，恒有

1

x

≥1-lnx…（*）
取x=n（n∈N^*），得

1

n

≥1-lnn
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥n-(ln1+ln2+ln3+…+lnn) =n-ln(n!)=ln

en

n!

故  1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

   (n∈N*)
又 在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N^*），得：ln[k(k+1)(k+2)]≥1-

1

k(k+1)(k+2)

  =1-[

1

k(k+1)

-

1

(k+1)(k+2)

] •

1

2

∴

n

k=1

ln[k(k+1)(k+2)]≥n-

1

2

•[

1

2

-

1

(n+1)(n+2)

]＞(n-

1

4

)
故  (1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)•

n

k=1

ln[k(k+1)(k+2)]＞(n-

1

4

)•ln

en

n!

      (n∈N*)
或：又 在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N^*），得：ln[k（k+1）（k+2）]≥ln6＞lne=1
∴

n

k=1

ln[k(k+1)(k+2)]≥n＞(n-

1

4

)
故  (1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)•

n

k=1

ln[k(k+1)(k+2)]＞(n-

1

4

)•ln

en

n!

      (n∈N*)

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及不等式的证明，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．