Question

9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b≠c，a=$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$sinBcosB-$\sqrt{3}$sinCcosC=cos²B-cos²C．
（1）求角A的大小；
（2）若sinC=$\frac{4}{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式及两角差的正弦函数公式化简已知等式可得$sin（{2B-\frac{π}{6}}）=sin（{2C-\frac{π}{6}}）$，由b≠c，得B≠C，可得$2B-\frac{π}{6}+2C-\frac{π}{6}=π$，即可解得A的值．
（2）由（1）及正弦定理可求c，结合C＜A，可求$cosC=\frac{3}{5}$，从而可求sinB，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵$\sqrt{3}sinBcosB-\sqrt{3}sinCcosC={cos^2}B-{cos^2}C$，
∴$sin（{2B-\frac{π}{6}}）=sin（{2C-\frac{π}{6}}）$，
由b≠c，得B≠C，
则$2B-\frac{π}{6}+2C-\frac{π}{6}=π$，
所以$A=\frac{π}{3}$；
（2）由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，得$c=\frac{8}{5}$，
又有c＜a，则C＜A，
从而$cosC=\frac{3}{5}$，
故$sinB=sin（{A+C}）=sinAcosC+cosAsinC=\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$，
所以$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{8\sqrt{3}+18}}{25}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角形内角和定理，正弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．