解:(1)令a=b=0,得f(0)=0•f(0)+0•f(0)=0.
令a=b=1,得f(1)=1•f(1)+1•f(1),∴f(1)=0.(2分)
(2)令a=b=-1,得f(1)=f[(-1)•(-1)]=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1),∴f(-1)=0.
令a=-1,b=x,得f(-x)=f(-1•x)=-1•f(x)+x•f(-1)=-f(x)+0=-f(x).∴f(x)是奇函数.(5分)
(3)当
.
令
,∴g(a
n)=ng(a).(7分)
∴f(a
n)=a
n•g(a
n)=n•a
n•g(a)=n•a
n-1•f(a).
∵
∴f(2)=2,
∴
(9分)
∴
,
∴
即nS
n-(n-1)S
n-1=S
n-1+1,(11分)
∴(n-1)S
n-1-(n-2)S
n-2=S
n-2+1,…,2S
2-S
1=S
1+1,
∴nS
n-S
1=S
1+S
2+…+S
n-1+n-1,
∴S
1+S
2+…S
n-1=nS
n-n=(S
n-1)•n(n≥2)
∴g(n)=n.
故存在关于n的整式g (n)=n,使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立 (13分)
分析:(1)令a=b=0,得f(0)=0•f(0)+0•f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=1•f(1)+1•f(1),故可解;
(2)令a=b=-1,可得f(-1)=0;令a=-1,b=x,可得f(-x)=-f(x),故可得f(x)是奇函数;
(3)先可得
,即nS
n-(n-1)S
n-1=S
n-1+1,从而(n-1)S
n-1-(n-2)S
n-2=S
n-2+1,…,S
2-S
1=S
1+1由此可得S
1+S
2+…S
n-1=nS
n-n=(S
n-1)•n(n≥2),故可解.
点评:本题考查了数列与函数的综合运用,主要涉及了函数的赋值法,等差数列,函数的奇偶性及通项公式的计算等知识.