试题分析:(1)由焦点在y轴,顶点在原点的抛物线假设为
,又C
1经过点P(2,2),即可求出抛物线的
.即可得抛物线的方程.
(2)当圆心
在抛物线上运动时,写出圆
的方程,再令y=0即可求得圆的方程与x轴的两交点的坐标,计算两坐标的差即可得到结论.
(3)当圆心
在抛物线上运动时,由(1)可得M,N的坐标(其中用圆心
的坐标表示).根据两点的距离公式即可用圆心
的坐标表示m,n的值,将
适当变形,再根据基本不等式即可求得
的最大值.
(1)由已知,设抛物线方程为x
2=2py,2
2=2p×2,解得p=1.
所求抛物线C
1的方程为x
2=2y.-------3分
(2)法1:设圆心C
2(a,a
2/2),则圆C
2的半径r=
圆C
2的方程为
.
令y=0,得x
2-2ax+a
2-1=0,得x
1=a-1,x
2=a+1.
|MN|=|x
1-x
2|=2(定值).------7分
法2:设圆心C
2(a,b),因为圆过A(0,1),所以半径r=
,
,因为C
2在抛物线上,a
2=2b,且圆被x轴截得的弦长
|MN|=
(定值)---7分
(3)由(2)知,不妨设M(a-1,0),N(a+1,0),