Question

设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S={a+b

3

|（a，b为整数）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．
其中真命题是

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,新定义

分析：由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，即可判断③的错误；令S={0}，T={0，1}，推出-1不属于T，判断④是错误的．

解答： 解：①设x=a+b

3

，y=c+d

3

，（a，b，c，d为整数），
则x+y∈S，x-y∈S，xy=（ac+3bd）+（bc+ad）

3

∈S，S为封闭集，①正确；
②当S为封闭集时，因为x-y∈S，取x=y，得0∈S，②正确；
③对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；
④取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0-1=-1不属于T，故T不是封闭集，④错误．
故答案为：①②．

点评：本题考查对封闭集定义的理解及运用，考查集合的子集，集合的包含关系判断及应用，以及验证和举反例的方法的应用，是一道中档题．