Question

已知函数f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x．
（I）当x∈[0，

π

6

]时，求函数f（x）的值域；
（II）在△ABC中，若cosB=

1

3

，f(

C

2

)=-

1

4

，且C为锐角，求sinA的值．

Answer 1

分析：（I）先通过两角和及二倍角公式的变形把函数f（x）一个角的三角函数，进而求解函数的值域，
（II）由cosB及 B为三角形的内角可求sinB，再把f（

C

2

）代入可求 C，利用三角形的内角和 定理可得A=120°-B，利用两角差的正弦公式可求．

解答：解：（I）∵f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+  

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x
又0≤x≤

π

6

∴0≤2x≤

π

3

     0≤sin2x≤

3

2

则-

1

4

≤f(x)≤

1

2

函数f（x）的值域[-

1

4

，

1

2

]
（II）∵cosB=

1

3

∴sinB=

2 2

3

∵f(

C

2

) =

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

∴sinC=

3

2

且0°＜C＜90° 则C=60°
∴sinA=sin（120°-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3

2

×

1

3

+

1

2

×

2 2

3

=

3 + 2 2

6

点评：本题主要考查了两角和的余弦公式的应用，要熟练掌握倍角公式的变形cos2α=

1+cos2α

2

，sin2α=

1-cos2α

2

；利用同角平方关系解题时要注意角的范围；还考查了三角形的内角和的应用．