Question

如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点．
（1）若PA=2，求直线AE与PB所成角的余弦值；
（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的长．

Answer 1

解：（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示
则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）
∴=（，1，-2），=（0，1，1）
设直线AE、PB所成的角为θ，则cosθ==
即直线AE与PB所成角的余弦值为；
（2）设PA=a，则P（0，0，a），可得=（，1，-a），=（0，2，-a）
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则•=0且•=0
∴，令z=2，得y=a，x=．
可得=（，a，2）是平面PBC的一个法向量
∵D、E分别为PB、PC中点，∴D（，，），E（0，1，）
因此，=（，，），=（0，1，），
类似求平面PBC法向量的方法，可得平面ADE的一个法向量=（-a，-a，2）
∵平面ADE⊥平面PBC，
∴⊥，可得•=-a²-a²+4=0，解之得a=
因此，线段PA的长等于．
分析：（1）以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立如图所示直角坐标系．取AC的中点F，连接BF则BF⊥AC．根据题中数据可得A、B、C、P、E各点的坐标，从而得到向量、的坐标，再用空间向量的夹角公式加以计算，结合异面直线所成的角的定义即可得到直线AE与PB所成角的余弦值；
（2）设PA=a，可得、含有字母a的坐标形式，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PBC的一个法向量为=（，a，2），同理得到平面ADE的一个法向量=（-a，-a，2），由平面ADE⊥平面PBC可得•=-a²-a²+4=0，解之得a=，由此即可得到线段PA的长．
点评：本题给出侧棱PA与底面△ABC垂直的三棱锥，求异面直线所成的角并在面面垂直的情况下求线段PA的长，着重考查了利用空间向量研究线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．