Question

6．已知二项式（ax+1）⁷展开式的各项系数和为128，（ax+1）⁷=a₀+a₁（ax+3）+a₂（ax+3）²+…+a₇（ax+3）⁷，则a₄=-280．

Answer 1

分析 先求出a=1，从而（x+1）⁷=a₀+a₁（x+3）+a₂（x+3）²+…+a₇（x+3）⁷=[（x+3）-2]⁷，再由${T}_{r+1}={C}_{7}^{r}（x+3）^{7-r}（-2）^{r}$，令7-r=4，得r=3，由此能求出结果．

解答 解：∵二项式（ax+1）⁷展开式的各项系数和为128，
∴（a+1）⁷=128，解得a=1，
∵（ax+1）⁷=a₀+a₁（ax+3）+a₂（ax+3）²+…+a₇（ax+3）⁷，
∴（x+1）⁷=a₀+a₁（x+3）+a₂（x+3）²+…+a₇（x+3）⁷=[（x+3）-2]⁷，
${T}_{r+1}={C}_{7}^{r}（x+3）^{7-r}（-2）^{r}$，
由7-r=4，得r=3，
∴${a}_{4}=（-2）^{3}{C}_{7}^{3}$=-280．
故答案为：-280．

点评 本题考查二项式展开式的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．